闲题解答 4
闲题解答
有朋友问我一道题： > \(\min(x+\sqrt{2x^2+2})\) \(x \in R\)
首先令 \(x = \tan t\)... 但是如果不能三角换元呢？
考虑想办法把根号摘掉，然后不等式一下就好了。
\[x+\sqrt{2x^2+2}\]
\[=x+\sqrt{\frac{2}{k}k(x^2+1)}\]
\[\leq x+\sqrt{\frac{1}{2k}}(x^2+1+k)\]
最小值是二次函数的顶点：
\[\frac{4\sqrt{\frac{1}{2k}}\times \sqrt{\frac{1}{2k}}\times (1+k)-1}{4\sqrt{\frac{1}{2k}}}\]
\[=\frac{2+k}{4k\sqrt{\frac{1}{2k}}}\]
\[=\frac{2+k}{\sqrt{8k}}\]
\[=\frac{2}{\sqrt{8k}}+\frac{\sqrt{k}}{\sqrt{8}}\]
\[\leq2\sqrt{\frac{2}{8}}\]
\[= 1\]
PS: 有想投稿的问题请联系微信tonywu0635，会做都会做的，不会做就没办法了